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数学闲步第4章:如何明白四维空间中的物体?
发布时间:2021-03-17 09:19
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本文摘要:文章转自dimensions-math.org,[遇见]有修改增补,转载请注明.瑞士数学家路德维希·施莱夫利(1814-1895)先容了存在于四维空间中的物体,让我们见识到了一系列奇形怪状的四维正多面体。它们有着 24、120、甚至 600 个面!一、路德维希·施莱夫利与其它人四维空间的观点并非仅源于一人,而是靠着无数前人的缔造力,才得以在数学的领域中生长出完整的架构。 伟大的黎曼(Riemann)即属众多维几何的奠基人之一。黎曼将在该系列视频最后一章登场。

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文章转自dimensions-math.org,[遇见]有修改增补,转载请注明.瑞士数学家路德维希·施莱夫利(1814-1895)先容了存在于四维空间中的物体,让我们见识到了一系列奇形怪状的四维正多面体。它们有着 24、120、甚至 600 个面!一、路德维希·施莱夫利与其它人四维空间的观点并非仅源于一人,而是靠着无数前人的缔造力,才得以在数学的领域中生长出完整的架构。

伟大的黎曼(Riemann)即属众多维几何的奠基人之一。黎曼将在该系列视频最后一章登场。

毫无疑问地,他对于四维空间于十九世纪中叶时期生长成之观点,亦有透彻的相识。▲ 三维多维几何的奠基者:凯莱、施莱夫利和黎曼(自左向右)可是我们请来了施莱夫利的主要原因是这位开山始祖如今险些已遭人们遗忘,甚至于数学圈内也不破例。他是最先能领会到此观点的人之一:即便我们身处的空间似为三维,我们仍可作出对四维空间的想像,或甚至证明有关数学四维方面的几何定理。

对他而言,虽然四维空间是一个完全抽象的观点,但在长年的深入研究之后,他一定会以为处在四维空间比在三维空间中自在多了!他的重要著作为揭晓于 1852 年的《Theorie der vielfachen Kontinuität》(多重一连体理论),开始了多维空间线性几何的研究。在其时,相识这篇论文的重要性的人可谓寥若晨星。

一直到二十世纪初期,数学家们才领会到此篇巨著的意义。四维空间有许多年一直出现着一种神秘、不行能的样貌,就算于数学界中也不破例。对一般人来说,四维空间常使人遐想到的是充满违反现实情节的科幻小说,或者有时候是爱因斯坦相对论:“第四维不就是时间吗?”。然而,这样子是把数学跟物理上的问题混为一谈。

我们将会在短时间内回来讨论这一点。首先,让我们设法像施莱夫利一样地来明白纯粹由想像而生的四维空间吧!▲ 《星际穿越》影片中所出现的高维空间二、维度的观点施莱夫使用黑板往返顾我们在前面章节中学过的几个观点。一条线是一维的,因为我们只须一个数字即可定位某点的位置。

这个数字称为该点的横座标,或是 x 座标。如果原点左边取负值,而于右则正。黑板的平面是二维的,因为如欲确认其中一点的位置,可在黑板上画下相互垂直的两条直线,然后再形貌出该点相对于这两根轴的位置即可:它们即为横座标和纵座标(x 座标与 y 座标)。

对于我们所处于的空间,可再加画第三条垂直于黑板的轴线。我们固然不太可能找获得可以把直线画到黑板外面去的粉笔,可是我们都已经准备好要开始四维世界的旅程了,理当需要神奇粉笔的资助才行!如此一来,我们就可以用三个数字(一般设为 x、y 与 z 来形貌空间中任何一点的位置,而这就是为什么我们要说空间是三维的原因。固然,我们还会想要继续往下推广,可是想要画出垂直于原本的三条直线的第四条轴是不行能的;这是天经地义的事,因为我们所处于的自然空间是三维的,故我们不应在此寻找四维空间,而是凭借着我们的想像力……。

施莱夫利提出了几种可使我们相识四维观点的方法。就如同向扁平蜥蜴解释三维空间一般,在这可用上的解释方法也不止一种。

透过多个差别方法的组合,我们便得以一览四维空间。第一种方法是最实际的一种。我们直接划定四维空间内任意一点只不外是四个数字的荟萃: x、y、z、t。这种方法的缺点是很难用可视化展示。

不外,这种方法完全切合逻辑,而且数学家所接受。透过此法,我们就可以参考二维与三维空间,实验如法炮制地给出种种四维空间之物体的界说。例如,复制空间内一平面的界说,我们可以界说一个(超)平面为一组点集,其所有点的座标 ( x , y , z , t )皆满足型如 ax+by+cz+dt=e 的线性方程。在这种界说底下,我们就可以生长出一整套切合逻辑的几何、证明定理等等。

事实上,这是唯一可以严谨地处置惩罚高维空间的方法。但该视频并不以“过分严谨”为目的,而是旨于“可视化展示”出四维空间,而且解释一些数学家对它的直观想法。施莱夫利接着给出一种“类推”的解释。其构想是:认真地视察一、二与三维空间,注意其中某些现象,然后假定这些现象在四维空间中仍建立。

此历程颇为难题,且并不完全适用于所有情况。一只脱离了自己的平面国家,进入了三维空间的蜥蜴定要做好遇到惊喜的心理准备,而需要一段时间适应。

对于藉由“类推”的方法,进入了四维空间的数学家也是如此。施莱夫利以线段、等边三角形、正四面体为例。

我们发现到这些物件之间存在着某种类推关系,而毫无疑问地,正四面体在某些方面上是由将等边三角形推广到了三维空间的情形。那么,将正四面体推广到了四维空间的工具又是什么呢?线段有两个极点,属于一维空间。

三角形有三个极点,属于二维空间。四面体有四个极点,属于三维空间。

不禁使人想像:此序列将会继续生长下去,而存在着这么一个四维物件,它有着五个极点,延续了这一序列。我们可以发现:三角形和四面体的各双极点之间皆由一条边所相互毗连。若我们先不在意绘制图形所在的空间,而实验着把五个极点两两相连,那么我们就会发现需要十条边才行。然后,自然而然地,我们会试着在每三个极点间都设置一个三角形。

我们同样地会发现需要十个三角形。接着,我们继续在每四个点间都设置一个四面体。我们还能完全地弄清这个工具的形态……我们已知道它的极点、边、面以及三维面,但其真面目尚朦胧不清。

数学家使用了组合学知识来形貌已知之事:我们知道是哪些边连结了哪些极点,但我们仍然不能由几何的看法看到此物件。这个被刚我们料想而出,而将线段、三角、四面体的序列延续下去的物件,被称作单纯形(Simplex, 或单体)!例如,0-单纯形就是点,1-单纯形就是线段,2-单纯形就是三角形,3-单纯形就是四面体,而4-单纯形是一个五胞体。三、施莱夫利与多面体多边形是处在平面上,而多面体则是存在于一般的三维空间里。

四维(或更高维)空间中类似的物体一般而言被称为正多胞形,虽然它们常直接被称为多面体。柏拉图讨论了普通三维空间内的正多面体,而施莱夫利则形貌了四维空间内的正多面体。

其中,有些多面体的性质十分富厚,而本片欲将这些多面体展示给处于三维空间中的观众们,接纳的方规则与本片向蜥蜴们展示柏拉图体时所使用的方法相同,而非像是在展示一盆花或是一本书(无能否认地,要向您展示四维空间的花朵对本片的作者们将十分地难题。真惋惜!)。这里我们有施莱夫利最漂亮的孝敬之一:对四维空间中六个正多面体完整且确切的形貌。它们皆存在于四维空间中,故它们有着极点、边、二维面、与三维面。

以下将这些多面体的名称与边、面等数量整理成一个表格:这将有助于相识它们的详细形象。参见这里或这里 或是这里以获得更多四维空间中的多面体之相关资料。四、“瞥见”四维我们怎么在四维空间中“看”到工具?不幸地,我们无法给你一副 4D 眼镜,可是另有其它方法可循。

▌截面法我们跟蜥蜴起初的时候一样地开始。我们正处在我们的三维空间中,而我们想像有个工具从四维空间中经由,然后徐徐地穿过我们的三维空间。此截面正在我们的空间中,且它现在是一个变形中的多面体,而不是一个变形多边形。

藉由视察此截面之形状徐徐地变化,直至消失不见为止,我们就可以获得对于四维多面体的形状的一种直觉。用这种方法要认出该物体并不容易,而对于蜥蜴们来说更是难题。在影片中我们见到了超立方体、120、600 这三个正多胞体。

看它们穿过我们的空间,展示着它们的变形三维多面体截面,令人印象十分地深刻,但却不易相识。下面为 正600胞体 穿过我们的三维空间之情形。由于四维空间不易相识,不妨接纳几种相辅相成的方法。

▌成影法我们于此章中给出的另一个方法险些比截面法更显而易见。对蜥蜴也可以使用这种方法。

这是画家为了将三维的景致在二维的画布上表现出来所接纳的技巧。他将情形投影到画布上。

举例而言,他可以于物体后面放置一光源,然后视察此物体在画布留下的阴影。物体的阴影只能给出部份的资讯,但我们若把物体置于光源前旋转,然后视察影子变化的方式,我们通常就可以得出对于该物体很是确切的观点。这些都是透视法的艺术。同理:想像我们想要体现的四维物体正位在四维空间中,而有一个灯源将其投影到我们的三维空间中的画布上。

若该物体在四维空间中旋转,影子就会被变形,而我们就能获得对此物体的观点,只管我们是看不见它的!首先,我们看到了超立方体。相较于截面法之下,我们能更清楚地瞥见它。

再来则是我们认为是施莱夫利最以其为荣的 正24胞体!原因在于这个新泛起的物体实在是很是地新奇;与其它多面体差别的是,它并不是由任何一种三维多面体所推广而来的。再者,它有着奇妙的自对偶(self-dual)性质:例如,它的二维面数与一维面数(边数)相同,而三维面数与零维面数(极点数)也相同。

最后,我们看到了之前已经见过其截面的 120 与 600 胞体。这种新的检视方法让这些实为庞大的四维多面体出现出了其它的面目。

截面与成影这两种方法各有其所长,但无能否认地,它们并没有把这些漂亮的物体所拥有的对称性充实地表达出来。我们将于下一章中使用另一种方法,称为球极平面投影法!也许它有助于我们看得更为清楚?。


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